「有名問題」の説明等

 高校数学の問題、過去の大学入試問題等の中で

  • ① 問題の中に、高校数学での重要な要素が入っている問題
  • ② その高校数学での重要な要素を学習するのに適切な問題
  • ③ その問題から派生する問題が多い、応用範囲の広い問題

をここでは、「有名問題」と呼ぶことにします。(私、三輪の定義です。)


 若干、私の個人的な趣向もありますが、一般的に見て有名な問題、良問等、一度は解いておきたい問題を「有名問題」として集めました。


 毎年の大学入試問題は、過去の有名な問題、良問等を踏まえて、同じ問題を避けよ うとして変化して行きます。過去の問題の方が良問であっても、その良問が再び大学入試に登場することは、稀でしょう。(近年はそうでもなくなりつつありますが。)出版社の大学入試問題集でも、その良問は、消えていってしまいます。そういう良問を残し、高校数学を習って行く生徒諸君の学習のお役に立つために、このサイトを作りました。


 「問題」とその「解答等」をダウンロードして使用して下さい。


 できれば、問題を自分の力で解いてから、解答等を見て下さい。また、《解答》だけでなく、《別解》等も各自で研究して見て下さい。また、《解説》もよく読んで、その問題の応用力を確認して下さい。

問題の枠囲みの中の

「教科書」は、本校、大阪府立四條畷高等学校で使用している「東京書籍……」

「チャート式」は、本校、大阪府立四條畷高等学校64期生で使用している

  「チャート式基礎からの……」の「数学Ⅰ+A」、「数学Ⅱ+B」、「数学Ⅲ+C」

「チャートW」は、本校、大阪府立四條畷高等学校66期生で使用している

  「チャート式基礎からの……ワイド版」の「数学Ⅰ+A」


 もし、誤り等を発見されたときは、下記のメールまで、ご連絡をお願いします。


 最後になりましたが、このサイトは随時、更新して行きます。個人的にやっている ので、少しずつしか掲載・更新できませんが、掲載・更新等は、更新記録に書いてお きますので、それをご覧下さい。また、ご意見、ご感想等ありましたら、どしどし、 下記のメールまでご連絡をお願いします。

 大阪府立四條畷高等学校指導教諭三輪雅

 Eメール:T-MiwaMas@medu.pref.osaka.jp

範  囲  内    容
目  次
更新記録
数と式 問 題
積の組み合わせの工夫の因数分解
有名な対称式・交代式の因数分解
分母の有理化
付録(a^n-b^nの公式)
式と証明 問 題
条件付きの対称式の値
比例式の値
少なくとも1つは2に等しい
相加相乗による最大値・最小値
チェビシェフの不等式
 絶対値付きの不等式 
大小比較と不等式
方程式と不等式 問 題
文字係数の方程式
文字係数の(見かけ1次の)不等式
2次方程式の共通解
文字係数の連立方程式
2次関数 問 題
2次関数の2次関数
2次関数の最大・最小
2変数2次関数の最大・最小
2次方程式の解の分離の問題
図形と方程式 問 題
三角形の内心・傍心
2つの円の共通接線
軌跡
整数 問 題
「6の倍数である。」ことの証明
a2+b2 が3の倍数であるためのa,bの条件
未知数3つの対称形の不定方程式
2次方程式の整数解
最高次の係数が1の3次方程式の有理数解
値が整数の多項式の係数の必要十分条件跡
n!の素因数の個数
三角関数 問 題
sinθ,cosθの対称式と最大・最小
三角方程式の解の個数
36°の三角関数の値
次数下げ、合成と三角関数の最大・最小
三角形の角の有名な等式
見込む角の最大値
付録1(三角関数の加法定理関係の公式)
付録2(三角関数の加法定理関係の公式練習版1)
指数対数関数 問 題
底が文字の指数不等式
+a-xの2次関数
指数の関係式からの証明
対数の関数の最大・最小
x、yの対数の条件の表す領域
桁数と最高位の数字
整関数微分法 問 題
3 次関数の最大・最小(関数が変化)
3 次関数の極値の差
異なる3 つの実数解をもつ
3 本の接線が引ける点の存在範囲
4 次関数の二重接線
整式の次数、関数の決定
関数方程式(微分係数)
付録1(3次関数のグラフの概形)
整関数積分法 問 題
放物線と直線で囲まれた図形の面積の最小値
放物線関係の面積2 等分問題
放物線と法線で囲まれた図形の面積の最小値
2 本の放物線とその共通接線で囲まれた図形の面積
放物線と2 本の接線で囲まれた図形の面積
変化する直線と曲線で囲まれた図形の面積の最小
3次関数のグラフと直線で囲まれた2つの図形の面積が等しい
付録1(放物線関係の面積計算)
付録2(放物線とその接線に挟まれた図形の面積)
付録3(3次関数のグラフと直線で囲まれた2つの図形の面積が等しい)
付録4(3次関数のグラフとその接線で囲まれた図形の面積)
平面ベクトル 問 題
三角形の外心・垂心の位置ベクトル
三角形の内心・傍心の位置ベクトル
外心・重心・垂心の同一直線上
ベクトルの関係式と点の位置と面積比
内積の等式からの三角形、四角形の形状
ベクトル(付録)
付録1(内分点・外分点、三角形の重心、距離についての、座標とベクトルの対応)
付録2(ベクトル方程式と直線、平面、円・球面等の方程式)
付録3(ベクトルの1 次結合で表された基本的な図形・領域)
付録4(同一点、同一直線上、同一平面上)
空間ベクトル 問 題
四面体の重心
四面体の体積
空間ベクトルの関係式と点の位置と体積比
空間ベクトルの関係式と点の存在範囲
数列 問 題
2つの等差数列の共通項
3を分母とする分数の和
複利法
等差数列と等比数列の和の数列
等差中項・等比中項
(等差数列)×(等比数列)の数列の和
階差数列の逆利用による和
部分分数分解の利用による分数型の数列の和
文字定数の入った∑の計算
異なる2項の積の和
格子点の個数
群数列
漸化式の立式と解法
数学的帰納法(等式の証明)
数学的帰納法(不等式の証明)
二段帰納法
付録(数列の公式・まとめ)